Pembahasan Pre Tes OGN Mat Kota Malang 2018 Bagian Kompetensi Profesional No 2

Gambar 1. Soal aslinya

Dalam persegi panjang $ABCD$ yang ditunjukkan gambar 1 di atas, $M_1$ adalah titik tengah dari $DC$, $M_2$ adalah titik tengah dari $AM_1$. $M_3$ adalah titik tengah $BM_2$. dan $M_4$ adalah titik tengah $CM_3$. Perbandingan luas dari segiempat $M_1M_2M_3M_4$ dan persegi panjang $ABCD$ adalah ....

Pembahasan

Gambar 2 Penjelas

Berdasarkan gambar 2

Misalkan $AB=2y$ dan $AD=2x$

$\Delta AM_1D$ sebagun dengan $\Delta AEM_2$ sehingga

$\frac{EM_2}{AD}=\frac{AM_2}{AM_1}=\frac{1}{2} \rightarrow EM_2=\frac{1}{2}AD=x$.

$\frac{AE}{DM_1}=\frac{AM_2}{AM_1}=\frac{1}{2} \rightarrow AE=\frac{1}{2}DM_1=\frac{1}{2}y$.

Jika $AE=\frac{1}{2}y$ dan $\Delta BM_2E$ sebagun dengan $\Delta M_3BF$ sehingga

$\frac{FM_3}{BE}=\frac{BM_3}{BM_2}=\frac{1}{2} \rightarrow FM_3=\frac{1}{2}BE=\frac{3}{4}y$.

$\frac{FB}{EM_2}=\frac{BM_3}{BM_2}=\frac{1}{2} \rightarrow FB=\frac{1}{2}M_2E=\frac{1}{2}x$.

Jika $BF=\frac{1}{2}x$ dan $\Delta CFM_3$ sebagun dengan $\Delta M_4GC$ sehingga

$\frac{M_4G}{CF}=\frac{CM_4}{CM_3}=\frac{1}{2} \rightarrow M_4G=\frac{1}{2}CF=\frac{3}{4}x$.

$L_{M_1M_2M_3M_4}=L_{ABCD}-(L_{AM_1D}+L_{ABM_2}+L_{BCM_3}+L_{CM_1M_4})$

$L_{M_1M_2M_3M_4}=AB\times AD-(\frac{1}{2}\times AD\times DM_1+\frac{1}{2}\times AB\times EM_2+\frac{1}{2}\times BC\times FM_3+\frac{1}{2}\times CM_1\times GM_4)$

$L_{M_1M_2M_3M_4}=4xy-(xy+xy+\frac{3}{4}xy+\frac{3}{8}xy)=\frac{7}{8}xy$

Sehingga $\frac{L_{M_1M_2M_3M_4}}{L_{ABCD}}=\frac{\frac{7}{8}xy}{4xy}=\frac{7}{32}$

Jadi $\frac{L_{M_1M_2M_3M_4}}{L_{ABCD}}=\frac{7}{32}$