Pembahasan Soal Vektor 4

Diketahui $|\vec{u}|$ dan $|\vec{v}|$. Jika $|\vec{u}|=12$, $|\vec{v}|=15$ dan $|\vec{u}+\vec{v}|=24$ maka nilai $|\vec{u}-\vec{v}|=\cdots$
A.  $\sqrt{396}$
B.  $\sqrt{216}$
C.  $\sqrt{207}$
D.  $\sqrt{162}$
E.  $9$

Pembahasan D

$|\vec{u}|=12$, $|\vec{v}|=15$ dan $|\vec{u}+\vec{v}|=24$

misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{u}$ dan $\vec{v} $ adalah $ \theta$

$|\vec{u}-\vec{v}|=\cdots$

Ingat!

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$

dan

$|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$

sehingga

$|\vec{u}+\vec{v}|^2+|\vec{u}-\vec{v}|^2=2(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2)$

$24^2+|\vec{u}-\vec{v}|^2=2(12^2+15^2)$

$576+|\vec{u}-\vec{v}|^2=2(144+225)$

$|\vec{u}-\vec{v}|^2=738-576=162$

$|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{162}$

jadi jika  $|\vec{u}|=12$, $|\vec{v}|=15$ dan $|\vec{u}+\vec{v}|=24$ maka nilai $|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{162}$.

Read More

Pembahasan Soal Vektor 3

Diketahui $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, dan $|\vec{a}-\vec{b}|$ berturut-turut adalah 4, 6, dan $2\sqrt{19}$. Nilai $|\vec{a}+\vec{b}|=\cdots$
A.  $4\sqrt{19}$
B.  $\sqrt{19}$
C.  $4\sqrt{7}$
D.  $2\sqrt{7}$
E.  $\frac{1}{2}\sqrt{7}$

Pembahasan D

$|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=6$, dan $|\vec{a}-\vec{b}|=2\sqrt{19}$

misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b} $ adalah $ \theta$

$|\vec{a}+\vec{b}|=\cdots$

Ingat!

$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

dan

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

sehingga

$|\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2)$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2+(2\sqrt{19})^2=2(4^2+6^2)$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2+76=2(16+36)$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2=104-76=28$

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

$|\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{7}$

jadi jika  $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, dan $|\vec{a}-\vec{b}|$ berturut-turut adalah 4, 6, dan $2\sqrt{19}$ maka $|\vec{a}+\vec{b}|=2\sqrt{7}$.

Read More

Pembahasan Soal Vektor 2

Diketahui vektor $\vec{a}= \begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}x \\ 3\\4 \end{pmatrix}$ dan $\vec{c}=\begin{pmatrix}2 \\1 \\3 \end{pmatrix}$. Jika $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}$, nilai $x$ adalah ....
A. $-8$
B. $-7 \frac{1}{2}$
C. $-3$
D. $3 \frac{1}{2}$
E. 4

Pembahasan B

$\vec{a}= \begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \end{pmatrix}$  $\vec{b}=\begin{pmatrix}x \\ 3\\4 \end{pmatrix}$  $\vec{c}=\begin{pmatrix}2 \\1 \\3 \end{pmatrix}$

$(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}$

$(\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x \\ 3\\4 \end{pmatrix})\cdot \begin{pmatrix}2 \\1 \\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\1 \\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1-x \\-3 \\-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2 \\1 \\3 \end{pmatrix}=2+0+3$

$2(1-x)-3-9=5$

$-2x-10=5$

$-2x=15$

$x=\frac{15}{-2}=-7\frac{1}{2}$

Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah $-7\frac{1}{2}$

Read More

Pembahasan Soal Vektor 1

Diketahui vektor  dan . Perbandingan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor  dan  dengan luas segitiga yang dibentuk  dan  adalah ....

Pembahasan A

Untuk menentukan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor  dan  kita menggunakan rumus

Untuk menentukan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor   dan  kita menggunakan rumus

Sehingga perbandingan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor  dan  dengan luas segitiga yang dibentuk  dan  adalah 

Read More

Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian Skalar dengan Vektor

Gambar 7. Perkalian vektor dengan skalar k

Perkalian skalar dengan suatu vektor dapat dipahami sebagai memperbesar atau memperkecil suatu vektor.

Jika vektor  dikalikan skalar k=2 maka menghasilkan suatu vektor baru yang searah dengan vektor  namun besarannya menjadi 2 kalinya vektor . Sehingga vektor baru tersebut katakanlah vektor 

.

Jika vektor  dikalikan skalar k=-2 maka menghasilkan suatu vektor baru yang berlawanan arah dengan vektor  namun besarannya menjadi 2 kalinya vektor . Sehingga vektor baru tersebut katakanlah vektor .

Jika vektor   dikalikan skalar  maka menghasilkan suatu vektor baru yang searah dengan vektor  namun besarannya menjadi setengah kalinya vektor . Sehingga vektor baru tersebut katakanlah vektor.

Jika kita perhatikan dengan seksama maka vektor-vektor merupakan vektor-vektor yang sejajar satu dengan lainnya

Contoh 

1. vektor  dan  searah.
2. vektor  dan  berlawanan arah.
3. vektor  dan  searah

Ingat!, karena vektor merupakan obyek mengambang atau tidak terikat pada koordinat tertentu maka keempat vektor diatas dapat disusun dalam sebuah garis lurus

Dengan demikian dua buah vektor atau lebih dikatakan segaris jika kita dapat memperoleh suatu konstanta k sedemikian sehingga masing-masing vektor dapat dinyatakan sebagai sebuah perkalian skalar dengan vektor lainnya

contoh

 atau 

 atau 

 atau 

Read More

PENJUMLAHAN DUA BUAH VEKTOR

PENJUMLAHAN DUA BUAH VEKTOR DI RUANG DUA DIMENSI 

Untuk memahami penjumlahan dua vektor, Kita akan memulai dari tinjauan secara grafis, dengan harapan Kita bisa tahu kenapa pada penjumlahan dua buah vektor berlaku aturan demikian.

Yuk Kita mulai

Perhatikan dua vektor berikut  dan  jika Kita gambarkan dalam bentuk grafis akan nampak seperti gambar berikut

Gambar 6. Penjumlahan dua buah vektor

Mari bersama-sama mengamati gambar 6 tentang penjumlahan dua buah vektor. Pada prinsipnya penjumlahan dua buah vektor dapat dilakukan dengan mengeser vektor kedua sedemikian sehingga ujung vektor pertama berhimpit dengan pangkal vektor kedua. Resultan dari penjumlahan kedua vektor tersebut merupakan vektor yang berpangkal di pangkal vektor pertama dan berujung di ujung vektor kedua.

Dengan demikian penjumlahan dua buah vektor dengan menjumlahkan langkah-langkah yang bersesuaian pada kedua vektor yang dijumlahkan.

Dengan kata lain penjumlahan   dan menghasilkan .

Dari analisa grafis yang kita lakukan berarti bisa ditarik kesimpulan bahwa

1. Jika  dan  maka  atau 
2. Jika  dan  maka  atau 

Read More